Geometria Analítica - Cônicas

Elipse
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F₁ e F₂ , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F₁ e F₂, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F₁ e F₂ seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F₁ e F₂ pontos de um mesmo plano e F₁F₂ < 2a, temos:

   A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.

Elementos
    Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• focos : os pontos F₁ e F₂ 
• centro: o ponto O, que é o ponto médio de
• semi-eixo maior: a
• semi-eixo menor: b
• semidistância focal: c
• vértices: os pontos A₁, A₂, B₁, B₂
• eixo maior:
• eixo menor:
• distância focal:

Relação fundamental

    Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF₂B₂ , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 =b2 + c2

Excentricidade

    Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação: Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F₁(-c, 0) e F₂(c, 0):

   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

   Nessas condições, a equação da elipse é:

Hipérbole
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F₁ e F₂ , e sendo 2a um número real menor que a distância entre F₁ e F₂ , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F₁ e F₂ seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F₁F₂ = 2c, temos:

 

A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:

Elementos

   Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

• focos: os pontos F₁ e F₂
• vértices: os pontos A₁ e A₂
• centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de
• semi-eixo real: a
• semi-eixo imaginário: b
• semidistância focal: c
• distância focal:
• eixo real:
• eixo imaginário:

 

Excentricidade

        Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

    Como c > a, temos e> 1.

 

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0) F2 ( c, 0)

    Aplicando a definição de hipérbole:

Obtemos a equação da hipérbole:

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

    Nessas condições, a equação da hipérbole é:

 

Hipérbole eqüilátera

    Uma hipérbole é chamada eqüilátera quando as medidas dos semi-eixos real e imaginário são iguais:

a = b

Assíntotas da hipérbole

    Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b.

    Quando o eixo real é horizontal, o coeficiente angular dessas retas é ; quando é vertical, o coeficiente é .

Equação

    Vamos considerar os seguintes casos:

a) eixo real horizontal e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

b) eixo vertical e C(0, 0)

    As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:

Parábola

    Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.

   Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:

Observações:

1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:

2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.

3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.

4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.

Elementos

   Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

• foco: o ponto F
• diretriz: a reta d
• vértice: o ponto V
• parâmetro: p

                Então, temos que:

• o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.

                Assim, sempre temos .

• DF =p
• V é o ponto médio de

Equações

   Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal

    Como a reta d tem equação   e na parábola temos:

• ;
• P(x, y);
• d_PF = d_Pd ( definição);

        obtemos, então, a equação da parábola:

y2 = 2px

b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal

Nessas condições, a equação da parábola é:

y2 = -2px

c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical

x2=2py

d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical

x2= - 2py