Geometria Analítica: Circunferência

Equações da circunferência

Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência. Então:

    Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

 

Equação geral

   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

   A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16

   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

   Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

   Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:

• os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
• não deve existir o termo xy.

   Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.

   Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

• 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente

x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6

• 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

• 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos

( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16

• 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio

Posição de um ponto em relação a uma circunferência

   Em relação à circunferência de equação ( x - a )² + ( y - b )² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:

a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência

    Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )² + ( y - b )² - r²:

• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² =    0, então P pertence à circunferência;
• se ( m - a)² + ( n - b)² - r² < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência
   Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)² + ( y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e :

    Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :
(x - a)² + ( y - b )² = r², temos:

Assim:

 

Condições de tangência entre reta e circunferência
   Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

Geometria analítica: Reta

Equações de uma reta

 

Equação geral

   Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

   Dada uma reta r, sendo A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

    Fazendo y_A - y_B = a, x_B - x_A = b e x_Ay_B - x_By_A=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

                                        Acompanhe os exemplos:

• Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

        Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

• Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

   Como a igualdade é verdadeira, então P r.

   Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

 

Equação segmentária

   Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

   A equação geral de r é dada por:

    Dividindo essa equação por pq  , temos:

    Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas

   São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

   Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r.

   Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:

 x = t + 2 t = x -2

   Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:

y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0  ( equação geral de r)

 

Equação Reduzida

   Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

   Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

    Fazendo , vem:

y = mx + q

   Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

   Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular    Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:     O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre .             Assim: para ( a tangente é positiva no 1º quadrante) para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)             Exemplos: Determinação do coeficiente angular         Vamos considerar três casos: a) o ângulo é conhecido   b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB) Como ( ângulos correspondentes) temos que . Mas, m = tg     Então: Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é: c) a equação geral da reta é conhecida Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos: Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: (YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 Da equação geral da reta, temos: Substituindo esses valores em  , temos:     Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r    Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(QP), podemos escrever: Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1  e Y0=2. Logo: y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que é a equação geral de r.   Representação gráfica de retas    Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.    Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.   Coordenadas do ponto de intersecção de retas    A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.    Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:     Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 1 - y = -1 y = 2    Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s. Graficamente, temos: Posições relativas entre retas Paralelismo    Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.   Concorrência    Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:         Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:   Perpendicularismo         Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho: Ângulo entre duas retas    Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos:     Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo:     Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o suplemento de .   Distância entre ponto e reta    Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é dada por: Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0. Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c=1. Assim: Bissetrizes    Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0  e  s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, PQ, então P equidista de r e s:           Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra.        Vejamos um exemplo:         Se r: 3x + 2y - 7 = 0  e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são: